1.3.1.Penurunan Hubungan Substitutif antara Sistem Berderajat
Kebebasan Banyak (MDOF) dan Sistem Berderajat Kebebasan Tunggal (SDOF)

Direct Displacement Based Design memerlukan prosedur simplifikasi untuk estimasi deformasi gempa suatu sistem SDOF in-elastik sebagai representasi modus getar (mode shape) struktur yang dianalisis. Studi teoretik dan eksperimental hubungan substitutif ini diberikan oleh P.Gulkan, M.Sozen, dan A.Shibata.

Gambar 2.1. Simulasi SDOF ekivalen

Struktur sebenarnya (portal beton bertulang berlantai banyak) adalah suatu Multi Degree of Freedom (MDOF), akan tetapi apabila respons dinamik struktur tersebut didominasi oleh modus getar pertama (1st mode shape), maka sistem MDOF tersebut dapat diaproksimasi menjadi suatu SDOF dengan sistem, massa dan redaman yang ekivalen. Analisis respons dinamik model SDOF ekivalen menggunakan analogi massa-pegas atau osilator (konsep fisis dinamika struktur) dan dikerjakan melalui analisis transformasi modal atau metoda superposisi modal. Untuk setiap komponen modus, yaitu perpindahan, kecepatan dan percepatan dapat dinyatakan dalam:
(2.1) (2.2)
(2.3)

dimana:

= displasemen (perpindahan) lantai
= kecepatan lantai
= percepatan lantai
= vektor modus getar
= displasemen (perpindahan) amplitudo modus getar
= kecepatan modus getar
= percepatan modus getar

Persamaan keseimbangan dinamik sistem MDOF teredam (viscously damped MDOF system) akibat beban gempa dinyatakan dalam persamaan,
(2.4)
dimana:

= massa struktur
= redaman
= kekakuan struktur
= percepatan tanah akibat gempa bumi
= vektor satuan =

2.3.1.1. Transformasi Koordinat

Tahap pertama transformasi koordinat bertujuan untuk mengubah koordinat biasa menjadi koordinat normal. Maka substitusi persamaan (2.1), (2.2) dan (2.3) pada persamaan (2.4) memperoleh persamaan gerakan yang dinyatakan dalam koordinat normal:

(2.5)

Persamaan ini menyatakan N persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) dalam N yang tak diketahui (perpindahan lantai).

2.3.1.2. Pemisahan (Uncoupled) Suku-suku yang Bergandengan

Dengan memperhatikan kondisi ortogonalitas bentuk modus maka pemisahan (uncoupled) suku-suku persamaan (2.5) harus dengan perkalian transpos vektor pola tingkat ke-n , sbb :

(2.6)

(2.7)

dimana:

= = massa tergeneralisasi (2.8)
= = = redaman tergeneralisasi (2.9)
= = kekakuan tergeneralisasi (2.10)
= (2.11)

Pendefinisian :
(2.12)

Dari persamaan (2.7), (2.8) dan (2.9) diperoleh:

(2.13)

Persamaan-persamaan (2.7) dan (2.13) identik dengan persamaan gerakan sistem SDOF dengan merupakan karakteristik struktural pada modus ke-n yang disebut faktor partisipasi modal,
(2.14)

Diasumsikan penyelesaian persamaan (2.13) berbentuk,

(2.15)

2.3.1.3. Deformasi Lateral Maksimum Struktur SDOF Pengganti
Substitusi persamaan (2.8) dan (2.11) pada persamaan (2.15),

(2.16)

atau

(2.17)
dimana:

= perpindahan maksimum struktur SDOF

2.3.1.4. Gaya Inersia Lantai (Fi) dan Gaya Geser Dasar (Vb)
Gaya inersia lantai dapat ditulis sebagai,

(2.18)

Substitusi persamaan (2.3) pada persamaan (2.18), diperoleh:

(2.19)
dengan asumsi:
(2.20)
dimana:

= percepatan untuk analisis dinamik
= percepatan untuk analisis statik

Substitusi persamaan (2.20) pada persamaan (2.19):
(2.21)

Karena gaya geser dasar adalah jumlah gaya inersia tiap-tiap lantai, maka:

(2.22)

Substitusi persamaan (2.21) pada persamaan (2.22) diperoleh:

(2.23)

Substitusi persamaan (2.12) pada persamaan (2.23) diperoleh:

(2.24)

Substitusi persamaan (2.24) pada persamaan (2.21) diperoleh:

(2.25)

Gaya inersia lantai (Fi) selanjutnya diperoleh dengan subtitusi persamaan (2.12) pada persamaan (2.26):
(2.26)

atau,

(2.27)
2.3.1.5. Massa Efektif Struktur SDOF Pengganti (me)
Gaya inersia pada struktur SDOF ekivalen adalah:

(2.28)
dimana:
= massa efektif struktur SDOF ekivalen

Substitusi persamaan (2.24) pada persamaan (2.28) diperoleh:

(2.29)

atau,

(2.30)

Substitusi persamaan (2.17) pada persamaan (2.30) diperoleh:

(2.31)

2.3.1.6. Tinggi Efektif Struktur SDOF Pengganti (he)
Total momen pada struktur SDOF ekivalen adalah sama dengan struktur MDOF sebenarnya, sehingga:
atau, (2.32)
dimana:

= tinggi efektif struktur pengganti SDOF ekivalen
Substitusi persamaan (2.27) pada persamaan (2.32) diperoleh:

(2.33)

Dari prosedur substitusi diatas diperoleh 4 formula yang mereduksi struktur MDOF sebenarnya menjadi struktur SDOF pengganti ekivalen sbb:

2.3.2. Formulasi Metoda Perpindahan
Rotasi batas elastik diestimasi dari perhitungan kurvatur luluh y tipikal elemen dan didasarkan pada hasil-hasil studi teoretik dan eksperimental M.J.N. Priestly, G.M. Calvi dan M.J. Kowalsky.
Kurvatur luluh balok beton bertulang (tipikal persegi dan flens):
(2.34.a)
Kurvatur luluh kolom beton bertulang:
(2.34.b)
Untuk struktur portal beton bertulang, batas simpangan luluh (yield drift limit) dapat ditentukan sebagai:
(2.35)
dimana:
= sudut simpangan pada tahap luluh
= angka regangan luluh tulangan baja
= panjang bentangan balok
= tinggi tipikal balok

Hubungan antara sudut simpangan plastik dan sudut simpangan luluh diberikan sebagai:

(2.36)
dimana:
= sudut simpangan akibat pembentukan sendi plastik

Simpangan total yang terjadi:

(2.37)
dimana:
= sudut simpangan batas (maksimum) yang dibolehkan = 0.020 radian

Substitusi persamaan (2.36) pada persamaan (2.37) diperoleh:

(2.38)

Berdasarkan database penelitian yang diperoleh dari pengujian-pengujian substruktur rakitan join balok-kolom, faktor duktilitas yang bisa dicapai oleh elemen balok sebesar: .
Displasemen desain i (=Xi) diestimasi dari karakteristik respons maksimum displasemen analisis time history. Sesuai jumlah lantai bangunan, perpindahan relatif terhadap pondasi dihitung sebagai:

n ≤ 4 : (2.39)
4 ≤ n ≤ 20 : (2.40)
n ≥ 20 : (2.41)
dimana:
= jumlah lantai
= tinggi lantai ke-i
= tinggi lantai ke-n (tinggi total)

Deformasi Lateral Maksimum:
Massa Efektif Struktur SDOF Pengganti:
Tinggi Efektif Struktur SDOF Pengganti :

Perpindahan elastik (yield displacement) portal beton bertulang pada titik resultan gaya lateral gempa dihitung sebagai:
(2.42)
dimana:
= tinggi titik resultan gaya lateral struktur portal beton.
Duktilitas struktur ditentukan dari sebagai:
(2.43)

2.3.2.1. Spektrum Perpindahan Desain Struktur SDOF Pengganti
Gambar 2.2. menunjukkan spektrum perpindahan yang diambil dari New Zealand Code Acceleration Spectra untuk tipe tanah sedang dengan PGA (Peak Ground Acceleration) efektif sebesar 0.40g. Menurut European Seismic Code 8 (EC8) spektrum perpindahan untuk redaman lainnya (selain = 5%) ditentukan menggunakan faktor modifikasi berikut:
(2.44)
dimana:
= redaman, yang dinyatakan sebagai persentase redaman kritis

Gambar 2.2. Spektrum perpindahan desain untuk jenis tanah sedang (medium/intermediate
Soil). Perpindahan maksimum berhubungan dengan T = 4 detik.

Untuk kemudahan aplikasi kurva spektrum perpindahan dalam menentukan perioda getar secara akurat maka direkomendasikan bahwa perioda getar struktur sebesar T = 4 detik dan redaman elastik = 5%. Pendekatan yang sedemikian didasarkan atas karakteristik spektra perpindahan yang akan mencapai nilai puncak yang konstan pada perioda T ≥ 4 detik. Dengan demikian persamaan (2.44) menjadi:
(2.45)
Sehingga untuk perpindahan yang dihitung dan redaman elastik , perioda getar efektif didapatkan sebagai:
(2.46)
2.3.2.2. Kekakuan Efektif (Ke) Struktur SDOF Pengganti
Diketahui perioda getar alami osilator diberikan sebagai:
(2.47)
Untuk struktur SDOF ekivalen,
(2.48)
Sehingga kekakuan efektif :
(2.49)
dimana:
= massa efektif struktur SDOF ekivalen
= perioda getar efektif struktur SDOF ekivalen

Gambar 2.3. Struktur MDOF, Struktur SDOF Substitusi dan Kekakuan Efektif Struktur SDOF Ekivalen
(Notasi d = xm)

Substitusi persamaan (2.46) pada persamaan (2.49) diperoleh:
(2.50)

Dari gambar 2.3. dapat dilihat bahwa respons maksimum gaya geser dasar adalah:
(2.51)
2.3.2.3. Gaya Geser Dasar (Vb) Struktur SDOF Pengganti
Substitusi persamaan (2.51) pada persamaan (2.50) diperoleh:
(2.52)

Persamaan (2.52) adalah gaya geser dasar lateral total struktur SDOF ekivalen yang akan didistribusikan kembali pada struktur MDOF sebenarnya berupa gaya lateral lantai Fi menggunakan persamaan (2.27).

2.3.3. Analisis Rasio Redaman eStruktur SDOF Pengganti
Sebagaimana dinyatakan dalam persamaan keseimbangan dinamik (pers. 2.4, 2.5 dan 2.13), redaman adalah proporsional terhadap kecepatan, dan karena itu disebut redaman viskos (liat). Asumsi redaman viskos dalam sistem struktur sangat menyederhanakan problem-problem disipasi energi yang kompleks dalam suatu sistem struktur akibat pengaruh pembebanan dinamik, sebagaimana diakibatkan oleh beberapa mekanisme berikut: (1) retak tipikal (cracking), (2) non-linearitas respons, (3) interaksi dengan elemen-elemen non-struktural, dan (4) interaksi struktur – tanah dasar bangunan. Keempat mekanisme yang disebutkan ini bersifat non-linear.

Para peneliti, dimulai oleh Jacobsen (1930), memperkenalkan istilah redaman viskos ekivalen (equivalent viscous damping) untuk merepresentasikan perilaku non-linear mekanisme disipasi energi. Konsep energi terdisipasi (EDISP) dan energi tersimpan (ESTO) yang diskemakan pada (Gambar 2.4.) merepresentasikan disipasi energi untuk keduanya, jangkauan elastik dan elastoplastik (histeresis).

Dalam hal kajian eksperimental tentang redaman pada sistem-sistem struktur, N.M. Newmark and W.J. Hall (1982) memberikan angka estimasi rasio redaman  dari model tes laboratorium dan beberapa pengukuran pada sistem struktur nyata (California Institute of Technology di Pasadena) sebesar 3 – 5% (7) untuk struktur beton bertulang yang mengalami keretakan pada kondisi elastik dan 50% regangan luluh.

Gambar 2.4. Energi terdisipasi (EDISP) dan energi tersimpan (ESTO) untuk redaman viskos (a),
dan siklus histeresis (b)

Energi input maksimum akibat percepatan tanah dasar dari gempa dinyatakan sebagai:
(2.54)
= (2.55)
= (2.56)
dimana:

= rasio redaman struktur SDOF ekivalen
= kecepatan getaran
= percepatan tanah (getaran gempa)
t = variabel waktu

Dari hasil-hasil studi teoretik dan eksperimental disimpulkan bahwa energi disipatif akibat redaman liat adalah sama dengan energi masukan percepatan gempa:
(2.57)
Substitusi persamaan (2.55) dan persamaan (2.56) pada persamaan (2.57) diperoleh:
(2.58)
Bila dinyatakan dalam bentuk penjumlahan diskret x :
(2.59)
dimana:
= kecepatan getaran rata-rata pada selang
= percepatan tanah rata-rata pada selang

Terdapat beberapa referensi untuk memformulasi atau menghitung faktor redaman viskos ekivalen. Disini akan diberikan 7 cara perhitungan redaman viskos ekivalen.

2.3.3.1. Integrasi Numerik Metoda Percepatan Linear
Persamaan (2.59) diselesaikan dengan analisis non linier integrasi numerik bertahap (step-by-step numeric integration method) dengan mengasumsikan percepatan linier dan model struktur berderajat kebebasan tunggal. Persamaan gerakan sistem SDOF pada waktu t = ti :
(2.60)
Pada selang waktu t = ti + t :
(2.61)
Persamaan (2.61) dikurangi persamaan (2.60) menghasilkan persamaan diferensial gerak dalam t :
(2.62) dimana:
= pertambahan gaya inersia = (2.63)
= pertambahan gaya redaman = (2.64)
= pertambahan gaya pegas = (2.65)

Pertambahan displasemen , pertambahan kecepatan dan pertambahan percepatan diberikan oleh:
(2.66)
(2.67)
(2.68)

Koefisien kekakuan (=konstanta pegas) pada persamaan (2.65) didefinisikan sebagai turunan dari gaya pegas terhadap perpindahan, yaitu:
(2.69)
Koefisien redaman pada persamaan (2.64) didefinisikan sebagai derivatif gaya redaman terhadap kecapatan, yaitu
(2.70)
Koefisien-koefisien dan digambarkan sebagai gradien garis singgung lengkungan pada masing-masing gambar 2.5.(a) dan 2.5.(b).

(a) (b)

Gambar 2.5. (a) Peredaman non-linier, (b) Kekakuan non-linier

Substitusi persamaan (2.63), (2.64), (2.65) pada persamaan (2.62) diperoleh:
(2.71)
Persamaan (2.71) adalah suatu persamaan pendekatan (estimate equation) karena berasumsi bahwa konstanta kekakuan dan konstanta redaman bersifat konstan selama suatu pertambahan waktu , yaitu pada setiap permulaan suatu selang waktu sampai langkah berikutnya. Jadi sifat non-linier diaproksimasi dengan suatu segmen kecil yang linier.

Gambar 2.6. Asumsi variasi linier dari percepatan selama selang waktu tertentu

Pada metoda percepatan linier dianggap bahwa percepatan dapat dinyatakan oleh fungsi linier terhadap waktu selama selang t. Bila percepatan merupakan fungsi linier terhadap waktu (Gbr. 2.6), maka selang waktu ti dan ti+1 dapat dinyatakan sebagai:
(2.72)
dimana diberikan oleh persamaan (2.68. Persamaan (2.72) akan diintegrasi sebanyak dua kali dalam selang dan , sehingga mendapatkan:
(2.73)
dan,
(2.74)
Evaluasi bersamaan untuk persamaan-persamaan (2.73), (2.74) dan (2.66), (2.67) menghasilkan:
(2.75)
dan,
(2.76)
Pengaturan suku-suku persamaan (2.76) untuk mendapatkan pertambahan percepatan , sehingga :
(2.77)
Substitusi persamaan (2.77) pada persamaan (2.75) untuk mendapatkan pertambahan kecepatan , seingga :
(2.78)
Substitusi persamaan (2.77) dan (2.78) pada persamaan (2.71) untuk memperoleh persamaan gerakan sistem,
(2.79)

Pengaturan persamaan (2.79), memindahkan suku-suku tak diketahui dari pertambahan ke bagian kiri, diperoleh:
(2.80)
dimana:
= konstanta pegas ekivalen rerata = (2.81)
dan,
(2.82)
atau
(2.83)
Analisis rasio redaman viskos ekivalen dengan integrasi numerik metoda percepatan linear memerlukan input rekaman data gempa aktual, seperti diberikan pada (Gbr. 2.7.). Penerapan persamaan (2.83) pada gempa El-Centro 1942 komponen North-South (PGA maks = 0.319g) untuk berbagai perioda getar T dan faktor duktilitas , mendapatkan rasio redaman struktur SDOF pengganti seperti yang diberikan pada (Tabel 2.1.).

Gambar 2.7. Time history gempa El-Centro 1940 komponen N-S (PGA maks=0.319 g),
Perioda getaran kuat (strong motion) = 11.02 sekon.

Tabel 2.1. Rasio redaman struktur SDOF ekivalen menggunakan Time History
gempa El-Centro 1940 untuk berbagai Perioda T dan faktor duktilitas .
T
 = 2
 = 4
 = 6
1
0.126
0.170
0.209
2
0.174
0.269
0.307
3
0.170
0.300
0.322
4
0.248
0.379
0.409

Untuk membuat faktor redaman SDOF ekivalen yang sedemikian di suatu daerah di Indonesia maka perlu ditentukan zona gempa dan jenis tanah dasar bangunan. Diketahui bahwa di Indonesia terdapat 6 zona kerawanan gempa dan 4 tipe tanah dasar bangunan (PGA: min=0.05g, maks=0.40g; tipe tanah: lunak, sedang, keras dan batuan). Maka diperlukan pembuatan 24 set riwayat waktu gempa (time history) apabila akan dicakup semua zona dan tipe tanah dasar. Tetapi untuk maksud penelitian ini hanya akan ditinjau 3 set simulasi gempa dari zona 3 (PGA=0.20g) pada kondisi tanah sedang.

Tabel 2.2. Rasio redaman struktur SDOF ekivalen untuk Zona Gempa 3 dan jenis tanah sedang.

Perioda T (detik)
Duktilitas
 = 2
 = 4
 = 6
1
0.130
0.187
0.226
2
0.203
0.304
0.340
3
0.212
0.362
0.360
4
0.262
0.328
0.385
1 < T < 2
0.167
0.246
0.283
2 < T < 4
0.226
0.331
0.362

Untuk simplifikasi maka perioda getar struktur dibagi atas dua golongan, yaitu: (1) Perioda: 1